Il Trattato di Analisi di Fourier è un manuale di livello specialistico-universitario inerente le serie e la trasformata di Fourier, adatto agli studenti dei corsi di laurea magistrale in matematica, fisica e ingegneria.
L'autore:
Mirco Mariucci
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Indice dei contenuti:
Parte 1. Prerequisiti Fondamentali
Capitolo 1. Nozioni preliminari
1.1. Notazioni e convenzioni
1.2. Spazi Vettoriali
1.3. Formule trigonometriche
1.4. Numeri complessi
1.5. Funzioni
1.6. Richiami di Analisi
1.7. Spazi L^p(I)
1.8. Spazio L^\infty
1.9. Spazi l^p
1.10. Simboli di Landau
Parte 2. Le Serie di Fourier in L^2(I)
Capitolo 2. Lo spazio L^2(I)
2.1. Definizione dello spazio L^2
2.2. Il prodotto scalare in L^2 e le sue proprietà
2.3. Sistemi Ortogonali in L^2
Capitolo 3. Le Serie di Fourier in L^2
3.1. Sistema trigonometrico reale e complesso
3.2. Il problema della migliore approssimazione
3.3. Coefficienti e Serie di Fourier in L^2
3.4. Proprietà dei Coefficienti di Fourier in L^2
Parte 3. La Trasformata finita di Fourier
Capitolo 4. La trasformata finita di Fourier
4.1. Sistemi trigonometrici normalizzati
4.2. Trasformata finita di Fourier
4.3. Proprietà della Trasformata finita di Fourier
Parte 4. Il Prodotto di Convoluzione
Capitolo 5. Nozioni preliminari
5.1. Notazioni e convenzioni
5.2. Spazio C(R)
5.3. Spazi L^p su R
5.4. Spazio L^\infty su R
5.5. Risultati utili di Analisi Funzionale
Capitolo 6. Convoluzioni su R
6.1. Definizione di Convoluzione f * g su R
6.2. Teoremi di esistenza e dominazione di f * g su R
6.3. Proprietà del prodotto di convoluzione
6.4. Convoluzione per funzioni L^p-loc
Parte 5. Il Prodotto di Convoluzione con funzioni 2\pi-periodiche
Capitolo 7. Nozioni preliminari
7.1. Funzioni 2\pi-periodiche
7.2. Spazi C2\pi-periodici
7.3. Spazi L^\infty2\pi-periodici
7.4. Spazi L^p2\pi-periodici
Capitolo 8. Convoluzioni su R con funzioni 2\pi-periodiche
8.1. Definizione di Convoluzione f * g con funzioni 2\pi-periodiche
8.2. Teoremi di esistenza e dominazione di f * g con funzioni 2\pi-periodiche
8.3. Proprietà del prodotto di convoluzione con funzioni 2\pi-periodiche
Parte 6. Gli Integrali Singolari
Capitolo 9. Nozioni preliminari
9.1. Norme e Distanze
9.2. Spazi di Banach
9.3. Operatori Lineari
9.4. Operatori Lineari su Spazi di Banach
9.5. Risultati utili di Analisi Funzionale
Capitolo 10. Integrali Singolari
10.1. Nucleo di funzioni su R
10.2. Identità Approssimata su R
10.3. Integrale Singolare su R
10.4. Esistenza e dominazione degli integrali singolari
10.5. Approssimazione con gli integrali singolari
Parte 7. Gli Integrali Singolari con funzioni 2\pi-periodiche
Capitolo 11. Integrali Singolari di funzioni 2\pi-periodiche
11.1. Nucleo di funzioni 2\pi-periodico
11.2. Identità Approssimata 2\pi-periodica
11.3. Integrali Singolari 2\pi-periodici
11.4. Esistenza e dominazione degli integrali singolari 2\pi-periodici
11.5. Approssimazione con gli integrali singolari 2\pi-periodici
Parte 8. Serie di Fourier con funzioni in L^1-2\pi
Capitolo 12. Nozioni preliminari
12.1. La Serie Geometrica
12.2. Risultati utili per la convergenza delle Serie di Fourier
12.3. Funzioni a variazione limitata (cenni)
Capitolo 13. Serie trigonometriche di Fourier
13.1. Serie di Fourier in L^1-2\pi
13.2. Convergenza puntuale della Serie di Fourier in L^1-2\pi
13.3. Applicazione al problema di Basilea
13.4. Convergenza in norma delle Serie di Fourier
13.5. Completezza del sistema trigonometrico
Parte 9. Questioni di convergenza
Capitolo 14. Test per la convergenza
14.1. Test per la convergenza
14.2. Il Teorema di Korovkin
Capitolo 15. Indurre la convergenza
15.1. A cosa servono i \Theta-fattori?
15.2. \Theta-fattori e \Theta-medie
15.3. \Theta-medie come prodotto di convoluzione
15.4. Esempi classici di \Theta-fattori
Parte 10. Applicazioni alle equazioni differenziali
Capitolo 16. Nozioni preliminari
16.1. Richiami di Analisi
16.2. Gradiente, Divergenza e Laplaciano
16.3. Equazioni differenziali lineari ordinarie omogenee
16.4. Equazione differenziale di Eulero omogenea
16.5. Principi di massimo
Capitolo 17. Equazione delle onde di d'Alembert
17.1. Definizione dell'equazione delle onde
17.2. Soluzione generale dell'equazione delle onde
17.3. Eq. delle onde: problema al contorno su R
17.4. Eq. delle onde: problema al contorno su [0;\pi]
Capitolo 18. Equazione del calore
18.1. Definizione dell'equazione del calore
18.2. Eq. del calore: problema al contorno su [0;\pi]\times R^+_0
Capitolo 19. Equazione di Laplace
19.1. Definizione dell'equazione di Laplace
19.2. Operatore di Laplace in coordinate polari
19.3. Problema di Dirichlet
Parte 11. Trasformata di Fourier in L^1(R)
Capitolo 20. Nozioni preliminari
20.1. Integrazione in senso generalizzato
20.2. E.D.O. lineari omogenee del primo ordine a coeff. variabili
Capitolo 21. Trasformata di Fourier con L^1(R)
21.1. L'integrale di Fourier
21.2. La trasformata di Fourier in L^1(R)
21.3. Proprietà elementari della trasformata in L^1(R)
21.4. Esempi di Trasformate di Fourier in L^1(R)
21.5. Proprietà fondamentali della trasformata in L^1(R)
21.6. La formula di sommazione di Poisson
Parte 12. Anti-trasformata di Fourier in L^1(R)
Capitolo 22. Il problema dell'inversione in L^1(R)
22.1. Inversione in L^1(R)
22.2. \Theta-fattori in R
22.3. Esempi di \Theta-fattori in R
22.4. Risultati di convergenza
Parte 13. Applicazioni alle equazioni differenziali
Capitolo 23. Applicazioni alle equazioni differenziali alle derivate parziali
23.1. Il problema di Dirichlet per il semipiano
23.2. Equazione del calore in R
Parte 14. Applicazioni alle equazioni integrali di Fredholm
Capitolo 24. Applicazioni alle equazioni integrali di Fredholm
24.1. Equazioni integrali di Fredholm
Parte 15. Indice Analitico e Bibliografia
Indice analitico
Bibliografia
