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domenica 28 febbraio 2016

Zenone di Elea e i paradossi sul movimento e la molteplicità.



Tratto dal saggio Il Sapere degli Antichi Greci, disponibile in formato cartaceo e digitale al seguente indirizzo, anche in download gratuito.


Se volessimo individuare il padre dei paradossi potremmo identificarlo con Zenone di Elea (-489; -431). 

Della vita di questo pensatore si sa ben poco. Fu discepolo e amante di Parmenide, a cui venne in soccorso inventando una serie di ragionamenti con l'intento di confutare le tesi in contrasto con quelle del suo maestro.

Per il suo modo di argomentare, Plutarco lo definì «lingua biforcuta». Una lingua che Zenone non esitò a mozzare con i propri denti per sputarla in faccia al tiranno che, dopo aver ottenuto il dominio della città di Elea, lo aveva arrestato e messo sotto tortura in quanto cospiratore. 

Aristotele, invece, lo definì niente di meno che lo scopritore della dialettica.

I paradossi sono dei ragionamenti che ci sembrano corretti ma che portano ad una contraddizione, oppure, che ci appaiono contraddittori ma che, viste le conclusioni, devono essere accettati.

Il matematico Odifreddi li definisce come degli: «argomenti sorprendenti, perché poco probabili ma molto credibili, o molto probabili ma poco credibili».

Ulteriore distinzione dev'essere fatta tra il paradosso e l'antinomia: il primo consiste in una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente ma lontana dal senso comune; la seconda, invece, in una vera e propria contraddizione logica.

Inoltre, un paradosso si dice logico (o negativo) se riduce all’assurdo le premesse su cui si basa; retorico (o nullo) se si limita ad esibire la sottigliezza di un ragionamento o ad esaltare l’abilità di chi lo produce; ontologico (o positivo) se attraverso un ragionamento inusuale rafforza le conclusioni a cui arriva.

Alcuni sostengono che il paradosso più antico ad oggi noto sia quello di Epimenide, in cui quest'ultimo sostenne che «Tutti i cretesi sono bugiardi». Il guaio è che Epimenide, per l'appunto, era un cretese! 

Dal fatto che chi afferma che tutti i cretesi sono bugiardi è lui stesso ad essere un cretese, consegue che quella frase non può essere vera, perché se lo fosse dovrebbe essere falsa, dato che tutti i cretesi sarebbero effettivamente dei bugiardi, compreso chi ha enunciato la frase.

Ma se non può essere vera, allora dev'essere falsa, quindi non è vero che tutti i cretesi sono bugiardi, cioè esiste almeno un cretese che dice la verità che, per l'appunto, non può essere il nostro Epimenide. 

E così si scopre che quello che inizialmente sembrava una frase paradossale può essere facilmente risolta senza generare alcun paradosso.

Gli argomenti prodotti da Zenone non sono di questo tipo, tant'è che spinsero il logico Bertrand Russell a definirli «smisuratamente sottili e profondi».

Lo scopo del filosofo dalla lingua biforcuta era di confutare la molteplicità e la divisibilità delle cose e la possibilità del movimento, agendo in continuità con le dottrine del suo maestro.

La filosofia strettamente razionalista di Parmenide, infatti, si spingeva contro il senso comune fino a negare la molteplicità e il divenire, affermando l'esistenza di un unico Essere: immutabile, immobile, eterno, ingenerato, immortale, finito ed omogeneo.

Così come il suo maestro, anche Zenone ricorse alla dimostrazione per assurdo, ma per la prima volta introdusse una tecnica basata sul regresso all'infinito, di cui vedremo immediatamente degli esempi per comprenderne più semplicemente il significato.

Il primo paradosso zenoniano è che viaggiare è impossibile, perché non si può neanche partire.

Infatti, per giungere al punto di arrivo bisogna prima percorrere la metà della distanza totale, ma a sua volta per compiere metà della lunghezza del viaggio si deve raggiungere la metà della metà del percorso e poi 1/8 della distanza totale e ancora 1/16... e così via all'infinito.

Ma in questo modo è chiaro che non si riuscirà nemmeno ad iniziare il viaggio!

In modo analogo si potrebbe sostenere che così come non si riesce a partire non si può neanche arrivare.

Infatti, per raggiungere la destinazione prima di tutto bisogna coprire metà della distanza totale, ma una volta raggiunta la metà del percorso si dovrà coprire la metà della distanza rimanente, e poi 1/4 del percorso mancante e ancora 1/8 della distanza residua e poi 1/16 e così via... senza mai raggiungere la destinazione finale.

Il secondo paradosso, simile ai precedenti ma assai più noto, è quello di Achille e la Tartaruga. 

Se Achille, detto piè veloce per la sua abilità di corridore, venisse sfidato da una tartaruga in una gara di corsa e concedesse a quest'ultima qualche metro di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla.

Per superare la tartaruga, infatti, Achille dovrebbe prima raggiungerla, ma nel lasso di tempo necessario per coprire la distanza che li separa, la tartaruga avrebbe percorso un altro intervallo di spazio; a quel punto Achille con un altro balzo potrebbe raggiungere la nuova posizione occupata dalla tartaruga, che però si sarebbe ancora una volta spostata un po' più là... e così all'infinito.

In questo modo la distanza tra Achille e la tartaruga, pur riducendosi progressivamente, non arriverà mai ad essere pari a zero, quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga e tanto meno la supererà.

Il terzo paradosso è conosciuto come argomento della freccia: un oggetto che appare in movimento in realtà è immobile, perché in ogni istante occupa uno spazio dettato dalle sue dimensioni esattamente come quando è effettivamente immobile.

Se scattassimo delle fotografie ad una freccia in movimento, questa ci apparirebbe ferma in ogni istante immortalato.

Quindi il tempo in cui un oggetto si muove è composto da istanti in cui quest'ultimo è immobile. Ed ecco che il movimento è impossibile, poiché dalla somma di istanti in cui un oggetto è immobile non può risultare un movimento.

In altre parole, il moto è un'illusione, come in una pellicola di un film composta da numerose immagini statiche che riprodotte in rapida successione ingannano le nostre menti mostrando oggetti in movimento.

Con il quarto paradosso, quello dello stadio, Zenone mostra che se due oggetti si dirigono l'uno verso l'altro con una certa velocità, allora la metà del tempo equivale al suo doppio. Ne proponiamo una riformulazione moderna.

Supponiamo che due treni corrano sullo stesso binario verso la medesima stazione, e supponiamo anche che entrambe le locomotive si spostino del medesimo spazio, cioè un intervallo elementare fissato, ad ogni istante di tempo elementare.

Fissiamo una certa ora e facciamo trascorrere il primo istante di tempo. Che cosa accade?

Un viaggiatore che sta aspettando i treni alla stazione, guardandoli, li vedrà avvicinarsi alla stessa velocità: al passare di ogni istante elementare entrambi i treni si saranno avvicinati della medesima distanza. 

In particolare, al primo istante avranno percorso uno spazio elementare ciascuno.

Ma per i conducenti delle locomotive, la distanza che li separa l'uno dall'altro diminuisce rispettivamente di due intervalli elementari spaziali al trascorrere di ogni istante. 

In particolare, al trascorrere del primo istante avranno coperto due intervalli elementari spaziali.

Questo significa che, dal loro punto di vista, essi stanno coprendo una distanza elementare in mezzo istante o, volendo usare i termini di Zenone, che la metà del tempo equivale al suo doppio. 

Il che è assurdo, dal momento che è trascorso esattamente il primo istante e ciascuno di essi è stato assunto come elementare e non può essere ulteriormente suddiviso, altrimenti non sarebbe tale.

Zenone non si limitò soltanto a tentare di dimostrare l'illusorietà del moto ma attaccò anche il pluralismo e la molteplicità delle cose.

Se immaginiamo che le cose sono molte, scopriamo per mezzo della ragione che esse sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito.

Da un lato sono finite, perché esse non sono né più né meno di quante sono, dall'altro sono infinite, perché tra due cose ce ne sarà sempre una terza e tra questa e le altre due ce ne sarà sempre un’altra e così via all’infinito. 

Sinceramente quest'argomento mi sembra decisamente fallace, perché non è detto che tra due cose debba essercene necessariamente un'altra, ma una semplice riformulazione del medesimo ragionamento apparirà ben più convincente.

Se le cose sono finite, si può pensare di prenderne una di esse e suddividerla in due parti, e a loro volta di prendere queste due e suddividerle ancora e poi ancora con le nuove sottoparti, come in una reazione a catena esponenziale.

Così facendo, continuando in modo indefinito, si avranno potenzialmente infiniti oggetti ed un ulteriore paradosso, nuovamente attribuito a Zenone: le cose di dimensione finita o sono estremamente piccole, tanto da non avere grandezza, o sono estremamente grandi da essere infinite.

Perché? Se immaginiamo di prendere un oggetto e di suddividerlo a metà, e via via di dividere a loro volta a metà le nuove sottoparti, si otterrà una suddivisione infinita di quell'oggetto.

Ma allora, se questi sotto-elementi, che riuniti formano l'oggetto originale, in quanto sue sottoparti, sono talmente piccole da non avere dimensione, allora anche la loro somma non può avere dimensione, anche se per ipotesi l'oggetto iniziale ne aveva una finita, il che è assurdo.

Quindi ne deduciamo che o il processo di suddivisione deve arrestarsi, o i componenti dell'oggetto devono avere una dimensione finita, pur essendo numericamente infiniti. 

Zenone scarta immediatamente la prima ipotesi perché, a suo avviso, non c'è nulla che impedisca di suddividere all'infinito la materia. Si passa così alla seconda ipotesi.

Ebbene, tra tutti quegli elementi che riuniti costituiscono l'oggetto di partenza, consideriamo il più piccolo di essi che avrà una certa dimensione K > 0 fissata.

Ma la somma di infiniti componenti di un oggetto, che hanno tutti una medesima dimensione finita maggiore uguale a K>0, per quanto piccola essa sia, restituisce una dimensione infinita, il che è nuovamente assurdo!

Ricapitolando: se non si può partire, e non si può neanche arrivare; se il corridore più veloce non riesce a raggiungere un animale decisamente lento; se quello che chiamiamo moto in realtà è una somma di istanti in cui gli oggetti sono immobili; e se quando due oggetti si spostano l'uno in direzione opposta all'altro nello stesso tempo essi percorrono spazi uguali e diseguali a seconda del punto di vista dell'osservatore...

allora la situazione si complica, perché o ha ragione Zenone, e quindi si deve negare il moto che dà origine a tutti questi paradossi, oppure ci dev'essere qualche errore nei suoi ragionamenti.

E ancora, dal momento che: se le cose sono in numero finito ne deriva che sono anche in quantità infinita; se le cose hanno dimensione finita allora la somma dei suoi componenti o non ha dimensione o ne ha una infinita... 

ne consegue ancora una volta che o Zenone ha ragione nel sostenere che la molteplicità non può esistere, in quanto razionalmente contraddittoria; oppure si deve cercare di trovare qualche fallacia nelle sue argomentazioni, per quanto logiche e convincenti esse siano.

Ovviamente Zenone era in errore. 

La confutazione più immediata e originale si deve al filosofo Diogene di Sinope, detto il Socrate pazzo, che non disse assolutamente nulla sugli argomenti di Zenone, ma allo scopo di dimostrare la falsità delle sue conclusioni, si limitò semplicemente ad alzarsi e a camminare!

Una delle assunzioni implicite su cui si basano i paradossi zenoniani è che spazio, tempo e materia siano infinitamente suddivisibili. 

Da un punto di vista matematico questo è certamente possibile, ma da un punto di vista fisico non è assolutamente detto che ciò corrisponda a realtà. 

Ad esempio, oggi sappiamo che l'infinita suddivisione della materia non è possibile.

Questo fatto fu intuito perfino dai greci antichi che, anche grazie ai paradossi di Zenone, svilupparono la teoria dell'atomismo, supponendo che i corpi che ci sembrano continui, come se fossero fatti di materia divisibile all'infinito, in realtà sono composti da particelle elementari non ulteriormente divisibili che chiamarono «atomi.

I paradossi di Zenone si basano anche sulla possibilità di ripetere lo stesso procedimento in modo successivo e senza limite, un aspetto che i greci dell'epoca rifiutarono per evitare d'incappare nei temibili paradossi del filosofo dalla lingua biforcuta. 

Questo è in sintesi il pensiero eleatico, quali sono stati i problemi che ha sollevato e le soluzioni proposte, ovvero rifiuto dell'infinito fisico da una parte, cioè lo spazio e la materia non si possono dividere all'infinito, e rifiuto dell'infinito logico-matematico dall'altra, cioè per i greci non era possibile fare regressi all'infinito.

Veniamo ora ai nostri tempi. Nei primi anni della meccanica quantistica, ovvero agli inizi del Novecento, i fisici nutrirono la speranza di poter ottenere una descrizione discreta del mondo ai più piccoli livelli. Tra di essi, Schrödinger ed Einstein. 

Ma questa speranza fu disattesa dagli sviluppi successivi. L'odierna comprensione della meccanica quantistica ha chiarito che non esiste nessun obbligo di assumere spazio, tempo ed energia come quantità discrete. 

Le moderne teorie più apprezzate hanno riabilitato l'idea di uno spazio-tempo continuo, persino quando sono implicati concetti quantistici.

È certamente rimasta in auge l'idea che vi possa essere realmente una qualche forma di discretezza fondamentale alle radici della Natura, anche se la meccanica quantistica nella sua formulazione standard non implica ciò.

Le idee che suggeriscono la discretezza sulle piccole scale sono certamente lecite, ma solitamente vengono ritenute non convenzionali. 

Per quanto ne sappiamo oggi, però, non è detto che lo spazio-tempo sia effettivamente un continuum infinitamente suddivisibile perché potrebbe essere quantizzato.

Per il momento la verità ultima a proposito della struttura più intima dell'universo è al di là della nostra comprensione.

Per rendere l'idea di che cosa sia uno spazio quantizzato, si può pensare ad una scacchiera, oppure ad un monitor formato da pixel.

L'odierna fisica sub-atomica ci dice che nel nostro universo non c'è modo di raggiungere lunghezze d’onda inferiori a 1,6*10^-35 metri, una misura considerata come la minima che abbia significato nei fenomeni fisici, nota anche come Lunghezza di Plank.

Similmente, non esiste alcuna possibilità di avere eventi che si compiano in meno di 5.3*10^-44 secondi, ovvero il tempo che impiega un fotone che viaggia alla velocità della luce a coprire la Lunghezza di Plank, noto per l'appunto come Tempo di Plank.

Per completare l'analogia, possiamo affermare che le grandezze appena riportate siano le dimensioni dei pixel dello spazio-tempo del nostro universo. 

Va ribadito che allo stato attuale della conoscenza non esistono ancora prove che le distanze nelle strutture dello spazio-tempo siano quantizzate esattamente in unità di lunghezze di Planck.

Un'ulteriore falla nel pensiero di Zenone può essere individuata nella trattazione del concetto di somme di infiniti termini maggiori di zero.

Se Achille corre al doppio della velocità della tartaruga e le concede 1 metro di vantaggio, allora al primo istante avrà coperto 1 metro, mentre la tartaruga 1+1/2; al secondo istante Achille si troverà a 1+1/2 e la tartaruga a 1+1/2+1/4... e così via.

Agli occhi di Zenone questo processo non ha termine e porta alla conclusione paradossale che Achille non raggiungerà mai la tartaruga, nonostante il senso comune e l'esperienza ci dicano il contrario.

Oggi sappiamo che in realtà quella somma, che i matematici chiamano serie, è convergente, ovvero è uguale ad un numero finito, che nel nostro caso è pari a 2 (metri).

Più in generale, la somma per k che va da zero a infinito dei termini (1/n)^k con n intero positivo, è pari a 1/(1-1/n) ed è nota come somma della Serie Geometrica. Nel nostro esempio n=2 implica 1/(1-1/2) = 1/(1/2)=2. E allora si capisce che non c'è più alcun paradosso. 

Ma per ottenere questa soluzione bisognerà attendere il 1600, quando Gregorio di San Vincenzo (1584-1667), gesuita e matematico fiammingo noto soprattutto per i suoi studi (vani) sulla quadratura del cerchio, mostrò che era possibile introdurre delle somme analoghe a quelle solite che si fanno con i numeri interi o frazionari, ma trattando una quantità infinita di termini, e si poteva farlo come processo al limite tendente a infinito della successione delle somme parziali degli addendi della somma. 

Egli scoprì che il risultato di Zenone poteva essere interpretato in maniera positiva, poiché in alcuni casi una serie di infiniti termini maggiori di zero sommati l'uno all'altro può avere somma finita.

Ciò accade quando i termini della serie tendono a zero in modo sufficientemente rapido, come nell'esempio di Achille e la tartaruga. 

Se però si considera la serie i cui termini sono dati dal reciproco dei numeri naturali, ovvero 1/2+1/3+1/4+1/5+…+ 1/n +..., nota con il nome di Serie Armonica, si scopre che questa non ha somma finita ma diverge all'infinito, nonostante il termine generale della serie tenda a zero.

Ed ecco che nasce un problema, cioè di riuscire a stabilire quand’è che una serie ha una somma finita, e quindi è convergente, oppure no, e da qui mosse i suoi passi l'analisi matematica, che sarà poi sviluppata da Newton e Leibniz e servirà come strumento per la fisica moderna (e non solo!).

Provando che la metà del tempo è uguale al doppio, Zenone anticipò di oltre 2000 anni il concetto di relatività, mostrando che uno spazio e un tempo assoluti non corrispondono alla realtà;

un concetto ripreso e sviluppato con maggior profondità dal fisico Albert Einstein, anche se con una grande differenza: ciò che per Einstein è realtà, seppur con una concezione relativistica del movimento, per Zenone è un assurdo logico che conferma la tesi del suo maestro a proposito del carattere apparente e illusorio del mondo.

Grazie alla teoria della relatività einsteniana, sappiamo che un oggetto in moto rispetto ad un osservatore appare a questi più corto (nella direzione del moto) rispetto al medesimo oggetto in quiete rispetto all'osservatore.

Più semplicemente, gli oggetti in movimenti subiscono una contrazione delle loro dimensioni nella direzione del moto.

Questa è una delle conseguenze più sorprendenti della Relatività Ristretta, seconda solo alla contrazione del tempo, nota al grande pubblico grazie al celeberrimo Paradosso dei gemelli.

Nell'esperienza comune gli effetti relativistici di contrazione delle lunghezze e del tempo, chiamate più propriamente contrazioni di Lorentz-Fitzgerald, non si notano perché le loro entità diventano significative solo a velocità paragonabili a quella della luce che nel vuoto assume un valore pari a 299 792,458 km/s.

Eppure, solo per citare un'applicazione tra le più note, senza le correzioni dovute alle equazioni della relatività, i dispositivi GPS non potrebbero funzionare correttamente.

Si comprende perché il logico Russell definì i paradossi di Zenone sottili e profondi: per cercare di smentirli e comprendere la verità, si devono scomodare concetti moderni come la trattazione attuale dell'infinito e dell'analisi infinitesimale, ma anche le più avanzate conoscenze della teoria della relatività di Einstein e della meccanica quantistica.

Quando un paradosso viene formulato crea stupore, ma è anche in grado di mettere in evidenza delle criticità che, una volta risolte, conducono a nuove e più profonde verità.

È in questo modo che i paradossi contribuiscono al progresso della conoscenza umana. 

I paradossi, quindi, non sono solo un esercizio di logica, ma recitano un ruolo da protagonisti nella storia del pensiero, ed insieme ad essi coloro che sono stati in grado di formularli.

Al di là delle confutazioni degli argomenti posti alla base della filosofia Eleatica, la grandezza di Zenone consiste nell'aver messo in evidenza, con i suoi paradossi, delle criticità in grado di stuzzicare il pensiero e favorire l'avanzata della conoscenza. 

Mirco Mariucci

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